גארי ברתיני נולד בשם שלמה גוֹלֶרְגַנְט (Golergant) בשנת 1927 בבריצ'בה (Briceva), שבבסרביה, רומניה. השם ברתיני היה "שם עט" של אביו שכתב שירה.
בילדותו עברה המשפחה לעיר סורוקה, הוא למד נגינה בכינור ובפסנתר. בזמן השואה, נשלח יחד עם רבים מיהודי בסרביה לגטאות ומחנות טרנסניסטריה ונותק מהוריו. לאחר תום המלחמה עלה יחד עם הוריו לארץ ישראל בסוף שנת 1946.
את לימודיו המוזיקליים החל ברתיני בקונסרבטוריון הישראלי למוזיקה תל אביב והמשיך בהם בקונסרבטוריון של מילאנו באיטליה (1948) ולאחר מכן בשנים 1954-1951 בקונסרבטואר וב"אקול נורמאל דה מוזיק" בפריז.
עם מוריו נמנו דמויות מפורסמות במוזיקה של המאה ה-20, כמו נדיה בולאנז'ה, לואיג'י דאלאפיקולה, ארתור הונגר, ז'אק שאייה ואוליביה מסיאן.
עם שובו לארץ בתום לימודיו ב-1955 הקים את מקהלת רינת, ובשנת 1965 את "האנסמבל הקאמרי הישראלי", שהפך לתזמורת הקאמרית הישראלית. ניהל אותה עד שנת 1975. בהמשך, בשנים 1977–1986 היה מנהלה המוזיקלי של התזמורת הסימפונית ירושלים. לברתיני גם הייתה הצלחה בינלאומית רבה. בשנת 1959 ניצח לראשונה בקונצרט של הפילהרמונית של ניו יורק. ב-1965 ניצח לראשונה באנגליה על התזמורת הקאמרית האנגלית. בשנים 1981-1971 היה מנצח אורח ראשי של התזמורת הסקוטית הלאומית. מ-1981 ועד 1983 שימש כיועץ מוזיקלי בתזמורת דטרויט. בשנים 1991-1983 ניהל את התזמורת הסימפונית של קלן. מ-1987 ועד 1991 היה המנהל האמנותי והמנהל המוזיקלי של האופרה בפרנקפורט. בשנים 2005-1998 כיהן כמנצח ראשי של התזמורת הסימפונית של המטרופולין טוקיו. כמו כן היה מנצח אורח קבוע באופרה הלאומית הסקוטית וניצח גם באופרה בסטיליה בפריז, ב"לה סקאלה" במילאנו, ובתיאטרון לאופרה "קירוב" (מריאינסקי) בסנקט פטרבורג. היה מנהל אמנותי של האופרה ברומא, מנצח ראשי של האופרה בג'נובה וזמן קצר לפני מותו - מנהל תיאטרון האופרה "סאן קארלו בנאפולי". בין השנים 1997-1986 עבד ברתיני באופרה הישראלית החדשה, תחילה כיועץ אמנותי ואחר כך כמנהל מוזיקלי.
ברתיני הלחין מוזיקה לעשרות הצגות תיאטרון בישראל וניצח על ביצועי בכורה רבים לרבות שלוש אופרות מאת יוסף טל. הסימפוניות של מאהלר היו אהובות עליו במיוחד, וסדרת התקליטורים בניצוחו על יצירות אלה (EMI Classics 40238) זכתה לשבחי הביקורת. הרפרטואר המועדף עליו כלל יצירות כמו הסימפוניה התשיעית ומיסה סולמניס מאת בטהובן, הרקוויאמים של מוצרט, ורדי, כמו כן קללת פאוסט מאת ברליוז, רקוויאם המלחמה מאת בריטן, כל יצירותיו של מאהלר, יצירות רבות מן המאה ה-20. כמו כן הקליט את הסימפוניות של בטהובן עם תזמורת האופרה בג'נובה, את האורטוריה "אברהם ויצחק" מאת סטרבינסקי, עם דיטריך פישר-דיסקאו.
בשנת 1978 זכה בפרס ישראל למוזיקה ובהמשך בפרסים בינלאומיים יוקרתיים באיטליה ועוד.
הוא נפטר בישראל ב-17 במרץ 2005.
