שניצר נולד בצ'רנוביץ שברומניה, ובשנת 1934 עלה לארץ ישראל. למד בגימנסיה בלפור ולמד היסטוריה ופילוסופיה באוניברסיטה העברית בירושלים, היה חבר האצ"ל (1941), ובשנת 1948 גויס לשירות בצה"ל. בשנת 1942 החל לעבוד כמנסר יהלומים. כעבור שנתיים מונה למנהל עבודה ונבחר ליו"ר ארגון מנהלי העבודה בתעשיית היהלומים. בשנת 1952 הקים את חברת "שניצר-גרינשטיין" לייצור וסחר יהלומים.
בשנת 1947 נמנה שניצר עם מייסדי בורסת היהלומים בישראל, וב-1949 נבחר לסגן נשיא הבורסה. כסגן הנשיא שימש בפועל כנשיא בין השנים 1964–1966, בעקבות מחלתו של הנשיא אברהם ליפשיץ. לאחר מכן נבחר שניצר לנשיא הבורסה הרביעי (1967–1993), ומשנת 1994 היה לנשיא של כבוד. בתקופת כהונתו הורחב ענף היהלומים והיה לענף העיקרי בייצוא התעשייתי מישראל. שניצר עצמו נבחר פעמיים לנשיא פדרציית בורסות היהלומים העולמית (1968–1971 ובשנית בין השנים 1978–1982), ובתום כהונתו נבחר לנשיא כבוד של הארגון.
תרומתו לקידום הענף נעשתה גם על ידי הוצאת כתב העת הראשון של ענף היהלומים "היהלום" (משנת 1944), פרסום ספר הלימוד הראשון בנושא בשפה העברית - "יהלומים" (עם אלחנן הלפרין) – ובשנת 1980, עם ייסוד מוזיאון היהלומים על שם הארי אופנהיימר ברמת גן. שניצר עמד בראש המוזיאון עד לשנת 2003.
פעילותו העסקית והציבורית כללה חברות במועצת המנהלים של בנק לאומי לישראל (1988–1998) ויו"ר ועדת האשראי של הבנק, יו"ר קרן שניצר למחקר בתחומי הכלכלה והסוציולוגיה (הוקמה ב-1982), יו"ר מועצת המנהלים של מכון היהלומים (1986–2003) וכן יו"ר מבצע "הקש בדלת" של האגודה למלחמה בסרטן.
עבור פועלו קיבל שניצר את עיטור מסדר לאופולד הבלגי (1982), תואר דוקטור לשם כבוד מאוניברסיטת בר-אילן (1984), פרס ישראל על תרומה מיוחדת לחברה ולמדינה (2004), תואר יקיר העיר תל אביב-יפו ואזרחות כבוד של העיר רמת גן. כן הוענקו לו אות הוקרה מתעשיית היהלומים בניו יורק ותואר יקיר תעשיית היהלומים בישראל. בשנת 1998 נקראה על שמו כיכר ברמת גן, ובשנת 2002 קראה בורסת היהלומים למתחם בנייניה בשם "קריית משה שניצר".
מנישואיו לוורדה היה שניצר אב לשלושה, בהם אשת העסקים חנה גרטלר, אמו של איש העסקים דן גרטלר, והיהלומן שמואל שניצר. אחיו היה הגסטרואנטרולוג ד"ר נפתלי נורברט שניצר.
